Заслуженный артист России. Окончил Московскую государственную консерваторию им. П. И. Чайковского по специальностям «виолончель» (1996, класс проф. М. К. Чайковской) и «оперно-симфоническое дирижирование» (2002, класс проф. В. С. Синайского). Также окончил аспирантуру по специальности «струнный квартет» (руководитель — проф. А. А. Шишлов). Среди его учителей — выдающиеся профессора Московской консерватории: Т. А. Гайдамович, А. З. Бондурянский, Р. Р. Давидян, К. С. Хачатурян.
Дирижерскую карьеру начал в Государственном академическом симфоническом оркестре России (2000–2002, ассистент главного дирижера). В дальнейшем в течение трех сезонов совмещал должность главного дирижера в двух ведущих московских оперных театрах — Московском академическом музыкальном театре им. К. С. Станиславского и В. И. Немировича-Данченко (с августа 2004 г. по настоящее время) и Московском театре «Новая опера» им. Е. Колобова (2004–2006).
Сотрудничал с выдающимися балетмейстерами —
Дж. Ноймайером, О. М. Виноградовым, Ю. Н. Григоровичем, Ю. Вамошем.
В московском театральном репертуаре Ф. Коробова свыше 30 спектаклей, в том числе пять опер Н. А. Римского-Корсакова, «Пиковая дама» П. И. Чайковского, «Мадам Баттерфляй» Дж. Пуччини, «Ромео и Джульетта» С. Прокофьева, «Дон Кихот» Л. Минкуса и другие.
Активно гастролирует как симфонический дирижер и виолончелист, сотрудничает с симфоническими оркестрами в России и за рубежом (Австрия, Словения, Германия, Финляндия, Италия, Филиппины и др.)
Является главным приглашенным дирижером Оркестра государственного Эрмитажа под управлением С. Сондецкиса («Санкт-Петербург Камерата»).
Принимал участие в многочисленных российских и международных фестивалях.
С 2007 г. художественный руководитель и главный дирижер Камерного оркестра Московской консерватории.
Имеет многочисленные записи на компакт-дисках, в том числе с Государственным академическим симфоническим оркестром России.
