Народный артист РСФСР, профессор.
Лауреат Международного конкурса им. Ж. Тибо и М. Лонг в Париже (1955), награжден «Орденом короля Альфонса X» за заслуги в области культуры и образования (Испания), званием Почетного профессора (Honoris causa) Шанхайской консерватории (Китай).
Родился в 1931 г. в Тбилиси. Там же окончил музыкальную школу в классе А. Д. Вирсаладзе, затем обучался игре на фортепиано в Москве у А. Б. Гольденвейзера. После окончания аспирантуры преподавал специальное фортепиано в Московской консерватории (1957 — 1991) С 1987 г. профессор и один из основателей Высшей школы им. Королевы Софии в Мадриде. С 1992 — постоянный профессор Музыкальной академии на Комо (Италия).
Исполнительский стиль Башкирова, одного из самых выдающихся пианистов 2-й половины XX в., сложился под влиянием школ А. Б. Гольденвейзера и Г. Г. Нейгауза. Его игре свойственны блестящая виртуозность, изысканность, экспрессия, артистизм, глубинное постижение авторского замысла. За полвека концертной деятельности (с 1956) он с неизменным успехом выступал в сотнях городов СССР и других стран. Партнерами его концертов с симфоническими оркестрами были такие дирижеры как Е. Светланов, К. Кондрашин, Д. Ойстрах, Дж. Сэлл, Г. Рождественский, Ю. Темирканов, Р. Баршай, Дж. Барбиролли, П. Парэ, К. Зандерлинг, К. Цекки, И. Маркевич, К. Мазур, Д. Баренбойм, Т. Берглунд и др.
Башкиров солировал с выдающимися коллективами: симфоническими оркестрами Ленинградской и Московский филармоний, ГАСО, БСО, Венской филармонии, «Королевской филармонии» (Лондон), Чикагским, Кливлендским оркестрами, оркестрами «Гевандхауз» и «Де Пари», оркестрами Израильской, Хельсинской, Бухарестской, Белградской филармоний.
В его репертуаре — сочинения В. А. Моцарта, Л. ван Бетховена, Ф. Шуберта, Р. Шумана, Й. Брамса, К. Дебюсси, С. Прокофьева, и др. Многочисленные записи пианиста были выпущены фирмами «Мелодия», «RCD», «Harmonia Mundi», «Erato», «EMI».
С 2012 г. Д. Башкиров прекратил концертную деятельность и занимается только преподаванием. Он также регулярно участвует в жюри фортепианных конкурсов. Постоянно проводит международные мастер-классы в Парижской Национальной консерватории, летней школе «Моцартеум» в Зальцбурге, Академии им. Я. Сибелиуса в Хельсинки, Доме музыки в Санкт-Петербурге, в Латвийской Музыкальной академии им. Я. Витола в Риге.
