Родился в 1975 г. в Подгорице (Черногория) С раннего возраста начал играть на скрипке и в 13 лет уже дебютировал в качестве солиста с симфоническим оркестром, исполнив Концерт ми минор Ф. Мендельсона. Он обучался в Музыкальной академии в Подгорице, где его наставником был профессор Мирослав Русин, а также окончил Академию г. Цетине под руководством профессора Уроса Пешича.
Получил степень магистра и совершенствовался в области камерного музицирования в Академии искусств в Нови-Саде (Сербия), и на музыкальном факультете Университета искусств в Белграде. Участвовал в мастер-классах Павла Верникова и Эрика Гинзберга.
Победитель нескольких национальных конкурсов, а также облдатель 1-й премии Международного конкурса имени сербского композитора Петара Конжовича в Белграде.
М. Бегич выступал с концертами в Италии, Хорватии, Сербии, Боснии и Герцеговине, Греции, Австрии, Франции, Англии, Ливане, Болгарии, Швеции, США и России. Его партнерами по сцене были Александр Бондурянский, Вифрид Штреле, Гигла Кацарава, Питер Ланггартнер, Виктор Узур, Михаил Березницкий, Любиша Йованович, Герберт Кефер, Барбара Хендрикс, Сергей Смбатян, Даринка Матич-Марович, Александр Рудин, Виктор Третьяков. В качестве солиста выступал с Черногорским симфоническим оркестром и многими международными суденческими оркестрами.
С 2001 г. М. Бегич сыграл свыше 150 концертов в дуэте с пианистом Бояном Мартиновичем, он также выступает в составе фортепианного трио Tritonus (Игорь Перезич — виолончель, Б. Мартинович — фортпиано).
Осуществил записи на телевидении Черногории, Сербии, Греции.
В мае 2011 г. провел скрипичный мастер-класс в Московской государственной консерватории им. П.И. Чайковский, в октябре 2014 г. был награжден званием Почетного профессора ГМПИ им. М.М. Ипполитова-Иванова.
С 2010 по 2016 гг. занимал должность декана Академии музыки в Цетине, где ведет классы скрипки, камерного музициования и оркестра.
М. Бегич является основателем и художественным руководителем Летней академии и фестиваля «Espressivo» в Черногории.
